$\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{j}+2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। यदि सदिश $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ पर $\vec{r}$ के प्रक्षेप का परिमाण $1$ है, तो $|\vec{r}|=$

यदि $a = i + j + k$,$b = i + 3j + 5k$,और $c = 7i + 9j + 11k$ है,तो $a + b$ और $b + c$ विकर्णों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शीर्षों $(1,2,0)$,$(1,0,2)$ और $(0,3,1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दो दिए गए सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के लिए,यदि सदिश $\overline{A}$ और $\overline{B}$ इस प्रकार हैं कि $\overline{A}+\overline{B}=\bar{a}$,$\overline{A} \times \overline{B}=\bar{b}$ और $\overline{A} \cdot \bar{a}=1$,तो $\overline{A}=$

मान लीजिए कि $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,जहाँ $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3$ और $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$ है। तो $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,जहाँ $\alpha, \beta \in R$,तीन सदिश हैं। यदि $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\bar{b} \times \bar{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ है,तो $2 \alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।