2 इकाई लंबाई का एक सदिश vec{a}, X-अक्ष और Y-अ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $\vec{a}$, $Z$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है और $\vec{b}$, $X$-अक्ष के साथ $\beta$ कोण बनाता है। दिक कोज्या के गुण $\cos^2 \alpha +

Vedclass · Accepted Answer

$(1-\sqrt{2}) \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $\vec{a}$, $Z$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है और $\vec{b}$, $X$-अक्ष के साथ $\beta$ कोण बनाता है। दिक कोज्या के गुण $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ का उपयोग करते हुए:सदिश $\vec{a}$ के लिए: $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः, $\vec{a} = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 60^{\circ} \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$.सदिश $\vec{b}$ के लिए: $\cos^2 \beta + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 1 \Rightarrow \cos^2 \beta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \cos \beta = 0$.अतः, $\vec{b} = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos 45^{\circ} \hat{k}) = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{j} + \hat{k}$.अब, $\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & \pm \sqrt{2} \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (\pm \sqrt{2})) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = (1 \mp \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.धनात्मक चिह्न लेने पर, हमें $(1 - \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।

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