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Question

(C) माना व्यंजक $E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) 	imes (\overrightarr

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$3[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$

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(C) माना व्यंजक $E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) 	imes (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ है।सबसे पहले, क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) 	imes (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$.$= (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c})$.चूंकि $\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$, और $\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{b})$ का उपयोग करने पर:$= \overrightarrow{0} - (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{0} + (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{a} 	imes \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a})$.अब, $E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a}))$.अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की परिभाषा $[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}] = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} 	imes \overrightarrow{w})$ का उपयोग करने पर:$E = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} 	imes \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a})$.ध्यान दें कि दोहराए गए सदिशों वाला कोई भी अदिश त्रिक गुणन $0$ होता है (जैसे, $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} 	imes \overrightarrow{a}) = 0$).$E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 0 + 0 + 2[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 0 - 0$.चूंकि $[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$, इसलिए $E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 3[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$.

$(\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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