हवा में रखा एक गर्म पिंड ठंडा होकर कम तापमान | vedclass

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Question

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ है, जहाँ $T_0$ परिवेश का तापमान है।इसका समाकलन करने पर, हमे

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$\frac{\ln (5)}{\ln (2.5)}$

Vedclass · Answer

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ है, जहाँ $T_0$ परिवेश का तापमान है।इसका समाकलन करने पर, हमें $T(t) - T_0 = (T_i - T_0)e^{-kt}$ प्राप्त होता है, जहाँ $T_i$ प्रारंभिक तापमान है।पिंड द्वारा खोई गई ऊष्मा $Q(t) = mc(T_i - T(t))$ है। यह जो अधिकतम ऊष्मा खो सकता है वह $Q_{max} = mc(T_i - T_0)$ है।अतः, खोई गई ऊष्मा का अंश $\frac{Q(t)}{Q_{max}} = \frac{T_i - T(t)}{T_i - T_0} = 1 - e^{-kt}$ है।$t_1$ समय के लिए, पिंड अधिकतम ऊष्मा का $60 \%$ खो देता है: $0.6 = 1 - e^{-kt_1} \Rightarrow e^{-kt_1} = 0.4 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.4}) = \frac{1}{k} \ln(2.5)$.$t_2$ समय के लिए, पिंड अधिकतम ऊष्मा का $80 \%$ खो देता है: $0.8 = 1 - e^{-kt_2} \Rightarrow e^{-kt_2} = 0.2 \Rightarrow t_2 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.2}) = \frac{1}{k} \ln(5)$.अनुपात $\frac{t_2}{t_1} = \frac{\ln(5)}{\ln(2.5)} = \frac{\ln(5)}{\ln(5/2)}$.

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