$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जो परवलय $y^2 = 4ax, a > 0$ के अंतर्गत है, जहाँ $O$ शीर्ष है। तो $\triangle OAB$ की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि जिन बिंदुओं से $y = x^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,उनका बिंदु पथ $16y^2 - 16x^2 + ky + 1 = 0$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि परवलय $y^{2} = 6x$ पर बिंदु $P$ पर अभिलंब बिंदु $(5, -8)$ से होकर गुजरता है। यदि $P$ पर परवलय की स्पर्श रेखा इसकी नियता (directrix) को बिंदु $Q$ पर काटती है,तो बिंदु $Q$ का कोटि (ordinate) क्या है?

मान लीजिए $(x, y)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर कोई बिंदु है। मान लीजिए $P$ वह बिंदु है जो $(0, 0)$ से $(x, y)$ तक के रेखाखंड को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो $P$ का बिंदु पथ (locus) क्या है?

परवलय ${y^2} = 16x$ पर बिंदु $P(16, 16)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब खींचे गए हैं,जो परवलय के अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ पर काटते हैं। यदि $C$ बिंदुओं $P, A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है और $\angle CPB = \theta$ है,तो $\tan \theta$ का मान है:

$x = t^2 + t + 1$ और $y = t^2 - t + 1$ द्वारा प्राचलिक रूप से परिभाषित वक्र क्या दर्शाता है?