वक्रों का एक परिवार इस प्रकार है कि मूल बिंदु | vedclass

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Question

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, हम स्पर्श रेखा

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$x^2y=C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, हम स्पर्श रेखा के समीकरण में $X = 0$ रखते हैं:$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.$y$-अंतःखंड की लंबाई $|Y| = |y - x \frac{dy}{dx}|$ है। प्रश्न के अनुसार, $y$-अंतःखंड कोटि $y$ का $3$ गुना है:$y - x \frac{dy}{dx} = 3y$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $-x \frac{dy}{dx} = 2y$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर, हमारे पास $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} + \ln C$ प्राप्त होता है।$\ln y = -2 \ln x + \ln C \Rightarrow \ln y = \ln(x^{-2}) + \ln C$.$\ln y = \ln(C x^{-2}) \Rightarrow y = \frac{C}{x^2}$.अतः, $x^2y = C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।

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