बिंदु (0,0) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime} = e^{x} \sin x$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = e^{x} \sin x$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष स

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$2y = e^{x}(\sin x - \cos x) + 1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime} = e^{x} \sin x$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = e^{x} \sin x$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y = \int e^{x} \sin x \, dx + C$  ...........$(1)$$I = \int e^{x} \sin x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:$I = \sin x \cdot e^{x} - \int \cos x \cdot e^{x} \, dx$$I = e^{x} \sin x - [\cos x \cdot e^{x} - \int(-\sin x) \cdot e^{x} \, dx]$$I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$$2I = e^{x}(\sin x - \cos x)$$I = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2}$इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$  ...........$(2)$चूंकि वक्र $(0,0)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=0$ रखते हैं:$0 = \frac{e^{0}(\sin 0 - \cos 0)}{2} + C$$0 = \frac{1(0 - 1)}{2} + C$$0 = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$$C = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + \frac{1}{2}$$2y = e^{x}(\sin x - \cos x) + 1$$2y - 1 = e^{x}(\sin x - \cos x)$.

बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $y^{\prime}=e^{x} \sin x$ है।

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