$y=\int \cos \left\{2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\} d x$ किसका समीकरण है?

मान लीजिए $g:(0, \infty) \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$ सभी $x > 0$ के लिए,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है। तो:

यदि $f(x)$ का प्रति-अवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रति-अवकलज $\cos x$ है, तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx =$

यदि $\int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx = \frac{x^n}{k} f(x) + c$ है,तो $f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) =$ ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\tan^{-1} x - \cot^{-1} x}{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ की निम्नलिखित वस्तुओं को List-$II$ में सुमेलित कीजिए। सही विकल्प चुनिए।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$