int frac{tan^{-1} x - cot^{-1} x}{tan^{-1} x | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।साथ ही,$\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x$ होता

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$\frac{4}{\pi} x 	an^{-1} x - \frac{2}{\pi} \ln(1 + x^2) - x + c$

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।साथ ही,$\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x$ होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{	an^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x)}{\pi/2} \, dx$$I = \frac{2}{\pi} \int (2 	an^{-1} x - \frac{\pi}{2}) \, dx$$I = \frac{4}{\pi} \int 	an^{-1} x \, dx - \int 1 \, dx$$\int 	an^{-1} x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का उपयोग करने पर ($u = 	an^{-1} x$ और $dv = dx$ लेने पर):$\int 	an^{-1} x \, dx = x 	an^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = x 	an^{-1} x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)$.इस मान को वापस रखने पर:$I = \frac{4}{\pi} [x 	an^{-1} x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)] - x + c$$I = \frac{4}{\pi} x 	an^{-1} x - \frac{2}{\pi} \ln(1 + x^2) - x + c$.

$\int \frac{\tan^{-1} x - \cot^{-1} x}{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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