$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + \tan x}}{{1 + \sin x}}} \right)^{\text{cosec } x}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[P]$ એ $P$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $0 \leq a \leq 2$ હોય,તો $a$ ના એવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો જેના માટે $\lim _{x \rightarrow a}([x^2]-[x]^2)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી:

જો $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}} \right)$ અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ ના બીજ હોય,તો $12 \log_e(a + b)$ ની કિંમત ............. થાય.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (2 + x) - \sin (2 - x)}}{x} = $

$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}-\sqrt{2}}{y^4} = $

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+a x+b}-x\right]$ જ્યાં $a < 0 < b$.