mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(1 + x)} | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = (1 + x)^{1/x}$.$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:$(1 + x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x}

Vedclass · Accepted Answer

$-e/2$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = (1 + x)^{1/x}$.$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:$(1 + x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \log(1 + x)} = e^{\frac{1}{x} (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots)} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots$:$(1 + x)^{1/x} = e \left( 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} + \dots)^2}{2} + \dots ight) = e - \frac{ex}{2} + O(x^2)$.अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{(e - \frac{ex}{2} + O(x^2)) - e}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} (-\frac{e}{2} + O(x)) = -\frac{e}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/x}} - e}}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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जब $x \to 2$ हो,तो $\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ के सीमा (limit) का मान क्या होगा?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{x^4}$ और $b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$ है,तो $ab^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {\frac{{{x^{3/2}} - 8}}{{x - 4}}} \right] = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} = $

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