int frac{sin x , dx}{a^2 + b^2 cos^2 x} = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sin x \, dx}{a^2 + b^2 \cos^2 x}$ है।$t = b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -b \sin x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ ह

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$\frac{1}{ab} \cot^{-1} \left( \frac{b \cos x}{a} \right) + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\sin x \, dx}{a^2 + b^2 \cos^2 x}$ है।$t = b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -b \sin x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$।समाकलन $I = \int \frac{-dt/b}{a^2 + t^2} = -\frac{1}{b} \int \frac{dt}{a^2 + t^2}$ हो जाता है।मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1} \left( \frac{x}{a} ight) + c$ का उपयोग करने पर,$I = -\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} 	an^{-1} \left( \frac{t}{a} ight) + c = -\frac{1}{ab} 	an^{-1} \left( \frac{b \cos x}{a} ight) + c$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$-	an^{-1}(x) = \cot^{-1}(x) - \frac{\pi}{2}$ होता है।अतः,$I = \frac{1}{ab} \cot^{-1} \left( \frac{b \cos x}{a} ight) + C$,जहाँ $C = c - \frac{\pi}{2ab}$ एक स्थिरांक है।इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

$\int \frac{\sin x \, dx}{a^2 + b^2 \cos^2 x} = $

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यदि $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}$ है, तो $\int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx =$

$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = a(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + b \sqrt{1+x^2} + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है)। $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{1}{\cos^2 x (1 - \tan x)^2} dx = $

$\int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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