int frac{x + 1}{sqrt{1 + x^2}} dx = | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ का मान ज्ञात करना है। समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1

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$\sqrt{1 + x^2} + \log \{ x + \sqrt{1 + x^2} \} + c$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ का मान ज्ञात करना है। समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$. पहले भाग के लिए,मान लीजिए $t = x^2 + 1$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$. अतः,$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^2 + 1}$. दूसरे भाग के लिए,हम मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करते हैं। इस प्रकार,$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$. दोनों भागों को जोड़ने पर,हमें $I = \sqrt{x^2 + 1} + \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = $

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$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ का प्रति-अवकलज (antiderivative) क्या है?

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