int frac{(x + 1)(x + log x)^2}{x} , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx$. हम समाकल्य को $\int (x + \log x)^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right) \, dx = \int (x + \log x)

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$\frac{1}{3}(x + \log x)^3 + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx$. हम समाकल्य को $\int (x + \log x)^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right) \, dx = \int (x + \log x)^2 \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं। माना $t = x + \log x$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (1 + \frac{1}{x}) \, dx$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int t^2 \, dt$ प्राप्त होता है। $t^2$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{t^3}{3} + c$ प्राप्त होता है। $t = x + \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{3}(x + \log x)^3 + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx = $

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(जहाँ,$x \in R - \{\frac{k \pi}{2} \mid k \in Z\}$)

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