int frac{x sin^{-1} x}{sqrt{1 - x^2}} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$. $t = \sin^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Vedclass · Accepted Answer

$x - \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1} x + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$. $t = \sin^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $I = \int t \sin t \, dt$ हो जाता है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = t$ और $dv = \sin t \, dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\cos t$ प्राप्त होता है। $I = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t + c$. चूँकि $t = \sin^{-1} x$,इसलिए $\sin t = x$ और $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ होता है। मान रखने पर,$I = -(\sin^{-1} x) \sqrt{1 - x^2} + x + c = x - \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1} x + c$.

$\int \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

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