int {frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}}$.$t = a + bx$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = \frac{{t - a}}{b}$ और $dx = \frac{{dt}}{b}$ प्राप्त होत

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$\frac{1}{{{b^3}}}\left[ {x + \frac{{2a}}{b}\log (a + bx) - \frac{{{a^2}}}{{a + bx}}} \right] + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}}$.$t = a + bx$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = \frac{{t - a}}{b}$ और $dx = \frac{{dt}}{b}$ प्राप्त होता है।समाकलन में मान रखने पर:$I = \int {\frac{{{{(\frac{{t - a}}{b})}^2}}}{{{t^2}}} \cdot \frac{{dt}}{b}} = \frac{1}{{{b^3}}} \int {\frac{{{t^2} - 2at + {a^2}}}{{{t^2}}} dt}$$I = \frac{1}{{{b^3}}} \int {(1 - \frac{{2a}}{t} + \frac{{{a^2}}}{{{t^2}}}) dt}$$I = \frac{1}{{{b^3}}} [t - 2a \log |t| - \frac{{{a^2}}}{t}] + C$$t = a + bx$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{{{b^3}}} [a + bx - 2a \log |a + bx| - \frac{{{a^2}}}{{a + bx}}] + C$अचर $a$ को समाकलन अचर $C$ में समाहित करने पर,हमें विकल्प $A$ के अनुरूप उत्तर प्राप्त होता है।

$\int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}} = $

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$\int \frac{1}{e^x+1} dx = $ . . . . . . $+ C$.

निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} dx$

$\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$

यदि $\int \sqrt{2} \sqrt{1 + \sin x} \, dx = -4 \cos(ax + b) + c$ है,तो $(a, b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx = $

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