int (log x)^2 , dx = | vedclass

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Question

(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।माना $\log x = t$,जिसका अर्थ है $x = e^t$। इसलिए,

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$x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + c$

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(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।माना $\log x = t$,जिसका अर्थ है $x = e^t$। इसलिए,$dx = e^t \, dt$।इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int t^2 e^t \, dt$।खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t^2$ और $dv = e^t \, dt$:$du = 2t \, dt$ और $v = e^t$।$I = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t \, dt$।$\int t e^t \, dt$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I = t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t \, dt) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t + c$।अब $t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर:$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$।

$\int (\log x)^2 \, dx = $

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