int sqrt{frac{a-x}{x}} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{a-x}{x}} \, dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होत

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$a \left[ \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{x}{a}} \sqrt{\frac{a-x}{a}} \right] + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{a-x}{x}} \, dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। $I = \int \sqrt{\frac{a - a \sin^2 	heta}{a \sin^2 	heta}} \cdot (2a \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} \cdot 2a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta = 2a \int \cos^2 	heta \, d	heta$ $I = a \int (1 + \cos 2	heta) \, d	heta = a(	heta + \frac{\sin 2	heta}{2}) + c = a(	heta + \sin 	heta \cos 	heta) + c$ चूँकि $x = a \sin^2 	heta$,इसलिए $\sin 	heta = \sqrt{\frac{x}{a}}$ और $	heta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है। साथ ही,$\cos 	heta = \sqrt{1 - \sin^2 	heta} = \sqrt{1 - \frac{x}{a}} = \sqrt{\frac{a-x}{a}}$ है। इन मानों को रखने पर,$I = a \left[ \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{x}{a}} \sqrt{\frac{a-x}{a}} ight] + c$।

$\int \sqrt{\frac{a-x}{x}} \, dx = $

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