int_0^a {frac{{{x^4},dx}}{{{{({a^2} + {x^2})} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} $. $x = a 	an 	heta $ મૂકતા,તેથી $dx = a \sec^2 	heta \, d	heta $. જ્યારે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{{16{a^3}}}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{3}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} $. $x = a 	an 	heta $ મૂકતા,તેથી $dx = a \sec^2 	heta \, d	heta $. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$. જ્યારે $x = a$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{4}$. $I = \int_0^{\pi/4} \frac{a^4 	an^4 	heta \cdot a \sec^2 	heta \, d	heta}{(a^2 + a^2 	an^2 	heta)^4} = \int_0^{\pi/4} \frac{a^5 	an^4 	heta \sec^2 	heta \, d	heta}{a^8 \sec^8 	heta} = \frac{1}{a^3} \int_0^{\pi/4} \sin^4 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$. $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ અને $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 	heta \cos^2 	heta = (\frac{1 - \cos 2	heta}{2})^2 (\frac{1 + \cos 2	heta}{2}) = \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2	heta + \cos^2 2	heta)(1 + \cos 2	heta) = \frac{1}{8} (1 - \cos 2	heta - \cos^2 2	heta + \cos^3 2	heta)$. $\cos^2 2	heta = \frac{1 + \cos 4	heta}{2}$ અને $\cos^3 2	heta = \frac{3\cos 2	heta + \cos 6	heta}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{8a^3} \int_0^{\pi/4} (1 - \cos 2	heta - \frac{1 + \cos 4	heta}{2} + \frac{3\cos 2	heta + \cos 6	heta}{4}) \, d	heta = \frac{1}{32a^3} \int_0^{\pi/4} (4 - 4\cos 2	heta - 2 - 2\cos 4	heta + 3\cos 2	heta + \cos 6	heta) \, d	heta = \frac{1}{32a^3} \int_0^{\pi/4} (2 - \cos 2	heta - 2\cos 4	heta + \cos 6	heta) \, d	heta$. $I = \frac{1}{32a^3} [2	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} - \frac{\sin 4	heta}{2} + \frac{\sin 6	heta}{6}]_0^{\pi/4} = \frac{1}{32a^3} [2(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{6}(-1)] = \frac{1}{32a^3} [\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}] = \frac{1}{32a^3} [\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}] = \frac{1}{16a^3} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}]$.

$\int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} = $

Similar Questions

ધારો કે $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}$ અને $f(2)=5$ છે. સિમ્પસનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $\int_0^2 f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો, $\int_{-1}^{1} [x+2[x+2[x]]] dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-1}^{2} \left[ \frac{[x]}{1 + x^2} \right] dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $(GIF)$ દર્શાવે છે.

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos x}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module