int_{-1}^{1} sin^3 x cos^2 x , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \sin^3 x \cos^2 x$ है। $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = \sin^3(-x) \cos^2(-x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2

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(A) माना $f(x) = \sin^3 x \cos^2 x$ है। $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = \sin^3(-x) \cos^2(-x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2 = -\sin^3 x \cos^2 x = -f(x)$। चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है। अतः,$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = 0$।

$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = $

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$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

मान लीजिए $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$, जहाँ $R > 0$ है। तो,

$\int_0^\pi x \sin^3 x \, dx = $

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\tan x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $h(a) = h(b)$ है,तो समाकलन $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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