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Question

(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u

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$0$

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(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u)) g'(u) \, du$ बन जाता है।माना $v = g(u)$ है। तब $dv = g'(u) \, du$ होगा।जब $u = h(a)$,तब $v = g(h(a))$। जब $u = h(b)$,तब $v = g(h(b))$।समाकलन $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} [f(v)]^{-1} f'(v) \, dv$ बन जाता है।यह $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} \frac{f'(v)}{f(v)} \, dv = [\ln|f(v)|]_{g(h(a))}^{g(h(b))}$ है।चूंकि $h(a) = h(b)$,इसलिए ऊपरी और निचली सीमाएं समान हैं: $g(h(a)) = g(h(b))$।अतः,समाकलन का मान $0$ है।

यदि $h(a) = h(b)$ है,तो समाकलन $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = $ . . . . . . .

$\int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

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