int_{0}^{pi / 2} (sin x - cos x) log(sin x + | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin x - \cos x) \log(\sin x + \cos x) \, dx$. प्रतिस्थापन $t = \sin x + \cos x$ का उपयोग करें। तब $dt = (\cos x - \

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$0$

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin x - \cos x) \log(\sin x + \cos x) \, dx$. प्रतिस्थापन $t = \sin x + \cos x$ का उपयोग करें। तब $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $-( \sin x - \cos x) \, dx = dt$. अब,समाकलन की सीमाओं को बदलें: जब $x = 0$,तब $t = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$. जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$. इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{1}^{1} - \log(t) \, dt$. चूंकि यहाँ निचली सीमा और ऊपरी सीमा समान है,इसलिए निश्चित समाकलन का मान $0$ होगा,क्योंकि $\int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0$।

$\int_{0}^{\pi / 2} (\sin x - \cos x) \log(\sin x + \cos x) \, dx = $

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$\int_{0}^{2} x e^{x} dx =$

निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[ t ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो $\int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx =$

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