मान लीजिए [ t ] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $I = \int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$. चूंकि $1 \le x \le 2$,इसलिए $3 \le 3x \le 6$ है। हम $[3x]$ के मानों के आधार पर अंतराल $[1, 2]$ को विभ

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$1$

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(A) मान लीजिए $I = \int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$. चूंकि $1 \le x \le 2$,इसलिए $3 \le 3x \le 6$ है। हम $[3x]$ के मानों के आधार पर अंतराल $[1, 2]$ को विभाजित करते हैं: स्थिति $1$: $1 \le x स्थिति $2$: $4/3 \le x स्थिति $3$: $5/3 \le x \le 2$,तब $5 \le 3x \le 6$,इसलिए $[3x] = 5$। समाकल्य $|2x - 5| = 5 - 2x$ है। अब,$I = \int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx$। प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx = [3x - x^2]_{1}^{4/3} = (4 - 16/9) - (3 - 1) = 2/9$। $\int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx = [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} = (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) = 3/9 = 1/3$। $\int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx = [5x - x^2]_{5/3}^{2} = (10 - 4) - (25/3 - 25/9) = 4/9$। योग करने पर: $I = 2/9 + 3/9 + 4/9 = 9/9 = 1$।

मान लीजिए $[ t ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो $\int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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