int_0^infty frac{log(1 + x^2)}{1 + x^2} ,dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$ ત્ય

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $	heta = 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty$ ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{2}$ થાય. તેથી,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\log(1 + 	an^2 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \sec^2 	heta \,d	heta$. $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ હોવાથી,$I = \int_0^{\pi/2} \log(\sec^2 	heta) \,d	heta$. $\log(a^b) = b \log a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sec 	heta) \,d	heta$. $\sec 	heta = \frac{1}{\cos 	heta}$ હોવાથી,$\log(\sec 	heta) = -\log(\cos 	heta)$ થાય. તેથી,$I = -2 \int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta$. પ્રમાણિત સંકલન $\int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta = -\frac{\pi}{2} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = -2 \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 ight) = \pi \log 2$.

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

Similar Questions

$\int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ અને $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ સતત વિધેયો છે. તો સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^\pi \frac{x}{\sin x}(3 \cos^2 x + 2 \sin x + \sin^3 x - 3) dx$

$\int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{10}^{19} \frac{\sin x}{1 + x^8} dx$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય કોના કરતા ઓછું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module