જો સમાંતર શ્રેણીના $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ અને $(r + 1)^{th}$ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને $m, n, r$ સ્વરિત શ્રેણીમાં હોય,તો સમાંતર શ્રેણીના સામાન્ય તફાવતનો પ્રથમ પદ સાથેનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ ધ્યાનમાં લો જ્યાં $a_{1}=1, a_{2}=2$ અને $n=1, 2, 3, \ldots$ માટે $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ છે. જો $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $V_r$ એ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના પ્રથમ $r$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે,જેનું પ્રથમ પદ $r$ છે અને સામાન્ય તફાવત $(2r-1)$ છે. ધારો કે $T_r = V_{r+1} - V_r - 2$ અને $Q_r = T_{r+1} - T_r$ જ્યાં $r = 1, 2, \ldots$
$1.$ સરવાળો $V_1 + V_2 + \ldots + V_n$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2-n+1)$
$(B)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2+n+2)$
$(C)$ $\frac{1}{2} n(2n^2-n+1)$
$(D)$ $\frac{1}{3}(2n^3-2n+3)$
$2.$ $T_r$ હંમેશા શું છે?
$(A)$ એકી સંખ્યા
$(B)$ બેકી સંખ્યા
$(C)$ અવિભાજ્ય સંખ્યા
$(D)$ વિભાજ્ય સંખ્યા
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $5$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(B)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(C)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $11$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(D)$ $Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots$

જો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય અને $x, y$ એ અનુક્રમે $a, b$ અને $b, c$ વચ્ચેના સમાંતર મધ્યકો હોય,તો $\frac{a}{x} + \frac{c}{y}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $S_{n}(x) = \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \log_{a^{1/6}} x + \log_{a^{1/11}} x + \log_{a^{1/18}} x + \log_{a^{1/27}} x + \ldots$ $n$-પદો સુધી,જ્યાં $a > 1$. જો $S_{24}(x) = 1093$ અને $S_{12}(2x) = 265$ હોય,તો $a$ ની કિંમત ..... છે.

$( - \pi ,\pi )$ અંતરાલમાં સમીકરણ $8^{(1 + |\cos x| + |\cos^2 x| + |\cos^3 x| + \dots)} = 4^3$ નો ઉકેલ કયો છે?