अनंत श्रेणी frac{1}{1 times 2} - frac{1}{2 ti | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \ri

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$\log_e \left( \frac{4}{e} \right)$

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(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।पदों का विस्तार करने पर:$S = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - \dots$$S = 1 - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots \right)$।हम जानते हैं कि $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$। $x=1$ के लिए,$\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$।अतः,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_e 2$।इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $S = 1 - 2(1 - \log_e 2) = 1 - 2 + 2 \log_e 2 = 2 \log_e 2 - 1 = \log_e 4 - \log_e e = \log_e \left( \frac{4}{e} \right)$।

अनंत श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots \infty$ का योग किसके बराबर है?

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$\log_e [(1 + x)^{1 + x} (1 - x)^{1 - x}] = $

$1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) \frac{1}{4^2} + \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) \frac{1}{4^3} + \dots \infty = $

यदि $S = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{(\log x)^{2n}}{(2n)!}$ है,तो $S$ =

$\left( \frac{a - b}{a} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{a - b}{a} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \frac{a - b}{a} \right)^3 + \dots = $

$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^3} + \dots \infty = $

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