$1! + 2! + 3! + \dots + 200!$ को $14$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ अक्षरों का उपयोग करके $10$ लंबाई के शब्द बनाए जाते हैं। मान लीजिए $x$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है और $y$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें ठीक दो अक्षर दो बार दोहराए जाते हैं और कोई अन्य अक्षर दोहराया नहीं जाता है,तो $\frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(i)$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एकैकी फलनों (one-one functions) की संख्या,जहाँ $O(A) = m$ और $O(B) = n$ $(m \leq n)$ है,${}^n P_m$ द्वारा दी जाती है।
(ii) $n$ लोगों को एक वृत्ताकार मेज पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ है।
(iii) दी गई $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
(iv) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या ${}^n C_{k-1}$ है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

एक पैक में $n$ कार्ड हैं जिन पर $1$ से $n$ तक की संख्याएँ अंकित हैं। पैक से दो क्रमिक संख्या वाले कार्ड हटा दिए जाते हैं और शेष कार्डों पर संख्याओं का योग $1224$ है। यदि हटाए गए कार्डों में छोटी संख्या $k$ है,तो $k - 20 =$

एक प्रश्न पत्र में $3$ खंड हैं और प्रत्येक खंड में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार को कुल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुनना है। तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी कितनी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग $12$ है?