$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके उन्हें एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

दो अंकों की ऐसी कुल कितनी संख्याएँ $n$ हैं कि $3^{n} + 7^{n}$,$10$ का गुणज हो? ..... .

मान लीजिए $S_1 = \{(i, j, k) : i, j, k \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_2 = \{(i, j) : 1 \leq i < j + 2 \leq 10, i, j \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_3 = \{(i, j, k, l) : 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_4 = \{(i, j, k, l) : i, j, k \text{ और } l \text{ समुच्चय } \{1, 2, \ldots, 10\} \text{ में भिन्न अवयव हैं}\}$. यदि समुच्चय $S_r$ में अवयवों की कुल संख्या $n_r$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4$,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) n_1 = 1000$
$(B) n_2 = 44$
$(C) n_3 = 220$
$(D) \frac{n_4}{12} = 420$

सबसे बड़ी $n \in N$ संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए $7^n$, $101!$ को विभाजित करता है:

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

यदि ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ है,तो $r$ का मान किसके बराबर है?