(1!)^2 + (2!)^2 + (3!)^2 + dots + (100!)^2 को | vedclass

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Question

(C) हमें $S = \sum_{n=1}^{100} (n!)^2$ को $100$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:$(1!)^2 = 1^2 = 1$$(2!)^2 = 2^2

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$17$

Vedclass · Answer

(C) हमें $S = \sum_{n=1}^{100} (n!)^2$ को $100$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:$(1!)^2 = 1^2 = 1$$(2!)^2 = 2^2 = 4$$(3!)^2 = 6^2 = 36$$(4!)^2 = 24^2 = 576 \equiv 76 \pmod{100}$$(5!)^2 = 120^2 = 14400 \equiv 0 \pmod{100}$सभी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ में $5$ के कम से कम दो गुणनखंड और $2$ के दो गुणनखंड होते हैं,इसलिए $n!$ संख्या $10$ का गुणज है। अतः,$(n!)^2$ संख्या $100$ का गुणज है।इसलिए,योग $S \equiv 1 + 4 + 36 + 76 \pmod{100}$$S \equiv 117 \pmod{100}$$S \equiv 17 \pmod{100}$शेषफल $17$ है।

$(1!)^2 + (2!)^2 + (3!)^2 + \dots + (100!)^2$ को $10^2$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

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