मूल्यांकन करें: vec{a} cdot {(vec{b} + vec{c} | vedclass

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Question

(A) हमें व्यंजक $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) 	imes (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$ का मूल्यांकन करना है।क्रॉस उत्पाद के वितरण गुण का उपयोग क

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(A) हमें व्यंजक $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) 	imes (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$ का मूल्यांकन करना है।क्रॉस उत्पाद के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:$(\vec{b} + \vec{c}) 	imes (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} 	imes \vec{a} + \vec{b} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a} + \vec{c} 	imes \vec{b} + \vec{c} 	imes \vec{c}$.चूंकि $\vec{x} 	imes \vec{x} = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:$= \vec{b} 	imes \vec{a} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a} + \vec{c} 	imes \vec{b}$.अब,$\vec{a}$ के साथ डॉट उत्पाद लेने पर:$= \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{b})$.अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} 	imes \vec{z})$ का उपयोग करते हुए:$= [\vec{a} \vec{b} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणन में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है:$= 0 + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0 + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.गुण $[\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = -[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का उपयोग करते हुए:$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.

मूल्यांकन करें: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

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