यदि सदिश $\vec x = 3i - 6j - k$,$\vec y = i + 4j - 3k$ और $\vec z = 3i - 4j - 12k$ दिए गए हैं,तो सदिश $\vec x \times \vec y$ का सदिश $\vec z$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ तीन शून्येतर सदिश हैं,जहाँ $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2 = \dots$

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आदि किनारे $(a - b)$,$(b - c)$ और $(c - a)$ सदिशों द्वारा दर्शाए गए हैं,तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $v = 2i + j - k$ और $w = i + 3k$ है। यदि $u$ कोई इकाई सदिश है, तो अदिश त्रिक गुणनफल $[u v w]$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$, $\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ और $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए तीन सदिश हैं। यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ को सह-आदि किनारों के रूप में लेने वाले समांतर षट्फलक का आयतन $61$ घन इकाई है, तो $\lambda$ के संभावित मानों की संख्या है

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ सह-अंतिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $\frac{64}{3}$ घन इकाई है। तो $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ सदिशों द्वारा दिए गए सह-अंतिम किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ... घन इकाई है।