यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन | vedclass

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Question

(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इसके किनारे हैं।यह

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(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इसके किनारे हैं।यहाँ,किनारे $\vec{u} = (a - b)$,$\vec{v} = (b - c)$ और $\vec{w} = (c - a)$ हैं।आयतन $V = |(a - b) \cdot ((b - c) 	imes (c - a))|$.क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(b - c) 	imes (c - a) = (b 	imes c) - (b 	imes a) - (c 	imes c) + (c 	imes a)$.चूँकि $c 	imes c = 0$,इसलिए $(b - c) 	imes (c - a) = (b 	imes c) - (b 	imes a) + (c 	imes a)$.अब $(a - b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:$V = (a - b) \cdot (b 	imes c - b 	imes a + c 	imes a)$$V = a \cdot (b 	imes c) - a \cdot (b 	imes a) + a \cdot (c 	imes a) - b \cdot (b 	imes c) + b \cdot (b 	imes a) - b \cdot (c 	imes a)$.अदिश त्रिगुणित गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार,यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान $0$ होता है:$a \cdot (b 	imes c) = [a, b, c]$$a \cdot (b 	imes a) = 0$$a \cdot (c 	imes a) = 0$$b \cdot (b 	imes c) = 0$$b \cdot (b 	imes a) = 0$$b \cdot (c 	imes a) = [b, c, a] = [a, b, c]$.इन मानों को रखने पर: $V = [a, b, c] - 0 + 0 - 0 + 0 - [a, b, c] = 0$.

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$A(5, -1, 1)$, $B(7, -4, p)$, $C(1, -6, 10)$, और $D(-1, -3, 7)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $11 \text{ cubic units}$ है। $p$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

यदि सदिश $2i - j + k$,$i + 2j - 3k$ और $3i + aj + 5k$ समतलीय हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $2i + j - k$,$-i + 2j + \lambda k$ और $-5i + 2j - k$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान किसके बराबर है?

यदि सदिश $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय नहीं हैं, तो सदिश $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})+(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$ है

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