જો સદિશ $\vec{a} = (x, y, z)$ એ $y$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે અને સદિશો $\vec{b} = (y, -2z, 3x)$ અને $\vec{c} = (2z, 3x, -y)$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,અને જો $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$ અને $\vec{a}$ એ $\vec{d} = (1, -1, 2)$ ને લંબ હોય,તો સદિશ $\vec{a}$ શોધો.

જો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ હોય, તો List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ સાથે જોડો.

$A$. $a-b$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એકમ સદિશ	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. જો $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ હોય, તો $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. જો $a, b, c$ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશ હોય, તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. જો $d$ એ $2 \sqrt{14}$ માન ધરાવતો અને $a$ ને સમાંતર સદિશ હોય, તો $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c$ અને $d$ છે. તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે અને $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ કોઈ $\lambda > 0$ માટે છે. જો $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $\overline{OC}$ નો $\overline{OA}$ પરનો પ્રક્ષેપ $-\frac{3}{2}$ છે
$(B)$ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે
$(D)$ $\overline{OA}$ અને $\overline{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો વચ્ચેનો લઘુકોણ $\frac{\pi}{3}$ છે

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. ધારો કે $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે,જેનો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. જો $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ હોય,તો $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = \lambda x \hat{i} + y \hat{j} + 4z \hat{k}$,$\vec{b} = y \hat{i} + x \hat{j} + 3y \hat{k}$,અને $\vec{c} = -z \hat{i} - 2z \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ હોય,જ્યાં $x, y, z$ બધા શૂન્ય નથી,અને $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.