સદિશ $\vec{a} = (1, 1, 1)$ નો સદિશ $\vec{b} = (2, 2, 1)$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શું થાય?

જો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$|\vec{b}| = 5$ અને $\vec{a}$ તથા $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો આ બે સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બે સદિશો $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda > 0$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$ છે. ધારો કે $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,જ્યાં $\vec{v}_1$ એ $\overrightarrow{u}$ ને સમાંતર છે અને $\vec{v}_2$ એ $\overrightarrow{u}$ ને લંબ છે. તો $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $\bar{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\bar{c}=3 \hat{i}-\hat{j}$ એવા સદિશો હોય કે જેથી $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એવા સદિશો હોય કે જેથી $|\bar{a}+\bar{b}|=\sqrt{29}$ અને $\bar{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \bar{b}$ થાય,તો $(\bar{a}+\bar{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ ની શક્ય કિંમત શોધો.

કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,$|\vec{a}| |\vec{b}|$ . . . . . . $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$.