मान लीजिए कि overline{a}, overline{b} और over | vedclass

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Question

(D) दिया गया सदिश त्रिक गुणन: $(\overline{a} 	imes \overline{b}) 	imes \overline{c} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.सदिश त

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$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया सदिश त्रिक गुणन: $(\overline{a} 	imes \overline{b}) 	imes \overline{c} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\overline{u} 	imes \overline{v}) 	imes \overline{w} = (\overline{u} \cdot \overline{w}) \overline{v} - (\overline{v} \cdot \overline{w}) \overline{u}$ का उपयोग करने पर:$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} = \left( (\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| ight) \overline{a}$.चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ शून्येतर और असमांतर हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ और $(\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.अदिश गुणन की परिभाषा $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos 	heta$ का उपयोग करने पर:$|\overline{b}| |\overline{c}| \cos 	heta + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.चूंकि $|\overline{b}|$ और $|\overline{c}|$ शून्येतर हैं,$|\overline{b}| |\overline{c}|$ से विभाजित करने पर:$\cos 	heta + \frac{1}{3} = 0 \implies \cos 	heta = -\frac{1}{3}$.सर्वसमिका $\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta$ का उपयोग करने पर:$\sin^2 	heta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.चूंकि $	heta$ सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le 	heta \le \pi,$ इसलिए $\sin 	heta \ge 0$.अतः,$\sin 	heta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

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यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ और $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ है,तो $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,तो $\vec{a} \times(\vec{a} \times(\vec{a} \times(\vec{a} \times \vec{b})))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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