यदि $ABCD$ एक चतुर्भुज है,तो $\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{CD}$ और $\vec{DA}$ द्वारा निरूपित बलों का परिणामी बल = .....

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ और $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ के क्रमशः $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश हैं। यदि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ और यदि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $8$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ की लंबाई $4$ है
$(D)$ $\overrightarrow{w}$,सदिशों $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ का कोण समद्विभाजक है

सूची $I$ का सूची $II$ के साथ मिलान करें और सूचियों के नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

सूची $I$	सूची $II$
$P$. सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $2$ है। तब सदिशों $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ और $(\vec{c} \times \vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।	$1$. $100$
$Q$. सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $5$ है। तब सदिशों $3(\vec{a}+\vec{b}), (\vec{b}+\vec{c})$ और $2(\vec{c}+\vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।	$2$. $30$
$R$. सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $20$ है। तब सदिशों $(2\vec{a}+3\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।	$3$. $24$
$S$. सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $30$ है। तब सदिशों $(\vec{a}+\vec{b})$ और $\vec{a}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।	$4$. $60$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

यदि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं, $|c| \neq 0$, $a \times(b \times c)+(a \cdot b) b=(4-2 \beta-\sin \alpha) b+\left(\beta^2-1\right) c$ और $(c \cdot c) a=c$ है, तो अदिश $\alpha$ और $\beta$ क्या हैं?

$(x_1 - x_2)^2 + (\sqrt{2 - x_1^2} - \frac{9}{x_2})^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1 \in (0, \sqrt{2})$ और $x_2 \in R^+$.

$\lambda $ के किन मानों के लिए $\vec{a} $ और $\vec{c} $ इकाई संरेख सदिश हैं और $|\vec{b}| = 6$ दिया गया है,यदि $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$ है,तो $\lambda = ......$