मान लीजिए a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएँ है | vedclass

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Question

(D) $\vec{w}$ का $\vec{PQ}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} \right) \vec{PQ}$ है।इसका परिमाण $|\vec{u}|

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$A, C$

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(D) $\vec{w}$ का $\vec{PQ}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} ight) \vec{PQ}$ है।इसका परिमाण $|\vec{u}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai+bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।इसी प्रकार,$\vec{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PS}|}{|\vec{PS}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai-bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।दिया गया है कि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{a+b + |a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2}$ है।यदि $a \ge b$ है,तो $\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies 4a^2 = 2(a^2+b^2) \implies 2a^2 = 2b^2 \implies a=b$ है।यदि $b > a$ है,तो $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies a=b$ है।अतः,$a=b$ है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{PQ} 	imes \vec{PS}| = |(ai+bj) 	imes (ai-bj)| = |(-abk - abk)| = |-2abk| = 2ab = 8$ है।चूंकि $a=b$ है,$2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a=2$ ($a>0$ होने के कारण)। अतः $a=2, b=2$ है।$(A)$ $a+b = 2+2 = 4$ (सत्य)।$(B)$ $a-b = 2-2 = 0 
eq 2$ (असत्य)।$(C)$ विकर्ण $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS} = (ai+bj) + (ai-bj) = 2ai = 4i$ है। लंबाई $|4i| = 4$ है (सत्य)।$(D)$ $\vec{PQ} = 2i+2j$ और $\vec{PS} = 2i-2j$ है। कोण समद्विभाजक की दिशा $\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} + \frac{\vec{PS}}{|\vec{PS}|} = \frac{2i+2j}{2\sqrt{2}} + \frac{2i-2j}{2\sqrt{2}} = \frac{4i}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$ है। यह $x$-अक्ष की दिशा में है,जबकि $\vec{w} = i+j$ $45^\circ$ पर है। (असत्य)।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

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