यदि $|a| = 3$ और $|b| = 4$ है,तो $\lambda$ के किस मान के लिए सदिश $(a + \lambda b)$,$(a - \lambda b)$ के लंबवत होगा?

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ दो शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A)$ सभी $\lambda \in R$ के लिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{c}$ हमेशा समांतर हैं।

यदि $a, b, c$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $BC, CA, AB$ की लंबाइयाँ हैं और $H$,$\triangle ABC$ के समतल में कोई ऐसा बिंदु है कि $a \vec{AH} + b \vec{BH} + c \vec{CH} = \vec{0}$,तो $H$ है

यदि $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 144$ और $|a| = 4$ है,तो $|b|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ तीन दिए गए सदिश हैं। यदि $\overrightarrow{r}$ एक ऐसा सदिश है कि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,तो $|\overrightarrow{r}|$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}, -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}, \vec{j}+2\vec{k}, 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ चार बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश हैं,तो रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।