एक धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,जब उसका व्युत्क्रम उसमें जोड़ा जाता है,तो योगफल का मान न्यूनतम होता है। $x$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f(x) = |(x-1)(x^2-2x-3)| + x - 3$,$x \in R$ है। यदि $m$ और $M$ क्रमशः अंतराल $(0,4)$ में $f$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या हैं,तो $m + M$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$ $(x \in R)$ का कोई चरम मान (extreme value) न होने की शर्त क्या है?

$f(x) = \int\limits_0^x t(t - 1)(t - 2) dt$ अपना न्यूनतम मान कब प्राप्त करता है?

एक आयताकार आधार और आयताकार किनारों वाली,ऊपर से खुली एक टंकी का निर्माण इस प्रकार किया जाना है कि इसकी गहराई $2 \ m$ और आयतन $8 \ m^{3}$ हो। यदि टंकी बनाने की लागत आधार के लिए $70$ रुपये प्रति वर्ग मीटर और किनारों के लिए $45$ रुपये प्रति वर्ग मीटर है,तो टंकी की न्यूनतम लागत क्या है?

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}x; & x < 1 \\ \sec^{-1}x + \lambda; & x \ge 1 \end{cases}$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,तो $\lambda$ का परिसर ज्ञात कीजिए।