કઈ શરત માટે દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + 2bx + c$ નું મૂલ્ય હંમેશા ધન રહે?

$k$ ના કયા ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય માટે સમીકરણ $x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ ના બંને બીજ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને ઓછામાં ઓછા $4$ હોય?

જો દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+5x-2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $M$ હોય અને તે $x=a$ આગળ મળે,તો $\frac{M}{a}$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$I$: જો સમીકરણ $x^2 + 2(a - 3)x + 9 = 0$,$a \in R$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે $\alpha < 6 < \beta$ હોય,તો $a < -3/4$ થાય.
વિધાન-$II$: જો $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$ હોય,તો $f(6) < 0 \implies a < -3/4$.

જો $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે દ્વિઘાત પદાવલિઓ $1-2x-5x^2$ અને $x^2-2x+5$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો હોય,તો $x$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે પદાવલિ $5ax^2+bx+7$ ધન હોય.

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ હોય અને $k$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $\alpha < k < \beta$ માટેની શરત નીચેનામાંથી કઈ છે?