સમતલ $x - 2y + 3z = 17$ એ બિંદુઓ $(-2, 4, 7)$ અને $(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધો.

સમતલો $\pi_1: 2x + 6y + 4z - 7 = 0$ અને $\pi_2: x - y - 2z - 2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x + y + 2z - 5 = 0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $r = i + j + \lambda (2i + j + 4k)$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $L$ એ $2 \hat{i}+3 \hat{j}+8 \hat{k}$ અને $\hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે. ધારો કે $P$ એ $-5 \hat{i}+19 \hat{j}-14 \hat{k}$ માંથી પસાર થતું અને $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ તથા $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ સદિશોને સમાંતર સમતલ છે. જો $L$ એ સમતલ $P$ ને બિંદુ $A$ માં મળે, તો $A$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

જો $\lambda_1 < \lambda_2$ એ $\lambda$ ની બે એવી કિંમતો હોય કે જેથી સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}) = 7$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 9$ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$ હોય,તો બિંદુ $(38 \lambda_1, 10 \lambda_2, 2)$ થી સમતલ $P_1$ પરના લંબની લંબાઈનો વર્ગ $...........$ છે.

બિંદુ $(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલો $r \cdot (i + 3j - k) = 0$ અને $r \cdot (j + 2k) = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.