એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $(4, 0, 0)$ અને $(-4, 0, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $10$ થાય,તો બિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

$A(3,2,-1), B(4,1,1), C(6,2,5)$ અને $D(3,3,3)$ એ ચાર બિંદુઓ છે. $G_1, G_2, G_3$ અને $G_4$ એ અનુક્રમે ત્રિકોણ $\triangle BCD, \triangle CDA, \triangle DAB$ અને $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રો છે. રેખાઓ $AG_1, BG_2, CG_3$ અને $DG_4$ નું સંગામી બિંદુ કયું છે?

$XY$-સમતલમાં આવેલું બિંદુ શોધો જે બિંદુઓ $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ અને $C(0, 0, 1)$ થી સમાન અંતરે હોય.

$2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં દિક્-ગુણોત્તર ધરાવતી એક રેખા $x = y + a = z$ અને $x + a = 2y = 2z$ રેખાઓને મળે છે. છેદબિંદુઓના યામ નીચે મુજબ છે:

બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા,સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બીજી એક સીધી રેખા જે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $L_1$ ને લંબ છે,તે સમતલ $L_2: 2x-y+z=-4$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{6}$ છે
$(B)$ $R$ ના યામ $(1,6,0)$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQR$ ની પરિમિતિ $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ છે

ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્ફલક છે જેમાં ધાર $AB, AC$ અને $AD$ પરસ્પર લંબ છે. જો ત્રિકોણ $ABC, ACD$ અને $ADB$ ના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $5, 6$ અને $7$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?