બિંદુ $(2, 1, 0)$ નું સમતલ $2x + y + 2z + 5 = 0$ થી અંતર શોધો.

ધારો કે બિંદુ $(1, 2, 4)$ માંથી રેખા $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3}$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P$ છે. તો સમતલ $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ થી $P$ નું અંતર શોધો.

ધારો કે સમતલ $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ એ રેખા $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ ને સમાંતર છે. જો $P$ નો $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $1$ હોય,તો $P$ અને $L$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

રેખાઓ $\frac{x + 1}{6} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z - 3}{8}$ અને $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{7}$ ને સમાવતા સમતલ પર બિંદુ $(1, -2, 1)$ માંથી દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો.

ધારો કે $L_1$ એ $2x+3y+z=4$ અને $x+2y+z=5$ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલા સમતલોની છેદરેખા છે. ધારો કે $L_2$ એ બિંદુ $P(2,-1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને સમાંતર રેખા છે. ધારો કે $M$ એ $2x+y-2z=6$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સમતલ છે. ધારો કે રેખા $L_2$ એ સમતલ $M$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. ધારો કે $R$ એ $P$ માંથી સમતલ $M$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $9\sqrt{3}$ છે
$(B)$ રેખાખંડ $QR$ ની લંબાઈ $15$ છે
$(C)$ $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ છે
$(D)$ રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ છે

બિંદુ $(1, -5, 9)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $x = y = z$ ની દિશામાં માપેલું અંતર શોધો.