यदि एक सदिश vec{r},OX, OY और OZ अक्षों के साथ | vedclass

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Question

(C) माना $l, m, n$ सदिश $\vec{r}$ के दिक्कोसाइन (direction cosines) हैं।चूंकि $\vec{r}$,$OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलि

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(C) माना $l, m, n$ सदिश $\vec{r}$ के दिक्कोसाइन (direction cosines) हैं।चूंकि $\vec{r}$,$OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।अतः,$l = \cos \alpha, m = \cos \beta = \cos \alpha, n = \cos \gamma = \cos \alpha$ है।इसलिए,$l = m = n$ है।हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।$l=m=n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l^2 = \frac{1}{3}$,अतः $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।चूंकि $l=m=n$ है,इसलिए दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ के मान $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}),$ और $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ हो सकते हैं।चिह्नों का प्रत्येक संयोजन एक अलग दिशा को दर्शाता है,जिससे कुल $2^3 = 8$ संभावित सदिश प्राप्त होते हैं।

यदि एक सदिश $\vec{r}$,$OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,तो ऐसे सदिशों $\vec{r}$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

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