बिंदु P(2hat{i} - hat{j} + 5hat{k}) से रेखा v | vedclass

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Question

(A) माना $P(2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$ दिया गया बिंदु है और $L$ रेखा $\vec{r} = (11\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k}) + \lambda(10\hat{i} - 4\hat{j}

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$\sqrt{14}$

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(A) माना $P(2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$ दिया गया बिंदु है और $L$ रेखा $\vec{r} = (11\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k}) + \lambda(10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k})$ पर $P$ से डाले गए लंब का पाद है।रेखा पर किसी भी बिंदु $L$ का स्थिति सदिश $\vec{L} = (11 + 10\lambda)\hat{i} + (-2 - 4\lambda)\hat{j} + (-8 - 11\lambda)\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।सदिश $\vec{PL} = \vec{L} - \vec{P} = [(11 + 10\lambda) - 2]\hat{i} + [(-2 - 4\lambda) - (-1)]\hat{j} + [(-8 - 11\lambda) - 5]\hat{k}$.$\vec{PL} = (9 + 10\lambda)\hat{i} + (-1 - 4\lambda)\hat{j} + (-13 - 11\lambda)\hat{k}$.चूंकि $PL$ रेखा के लंबवत है,इसलिए यह रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = 10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।अतः,$\vec{PL} \cdot \vec{b} = 0$.$10(9 + 10\lambda) - 4(-1 - 4\lambda) - 11(-13 - 11\lambda) = 0$.$90 + 100\lambda + 4 + 16\lambda + 143 + 121\lambda = 0$.$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.$\lambda = -1$ को $\vec{L}$ के समीकरण में रखने पर,हमें लंब के पाद $L$ के निर्देशांक $(1, 2, 3)$ प्राप्त होते हैं,अर्थात $\vec{L} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.अब,$\vec{PL} = (1 - 2)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (3 - 5)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.लंब की लंबाई $|\vec{PL}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

बिंदु $P(2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$ से रेखा $\vec{r} = (11\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k}) + \lambda(10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k})$ पर डाले गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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