જો $P \equiv (0, 1, 0)$ અને $Q \equiv (0, 0, 1)$ હોય,તો સમતલ $x + y + z = 3$ પર $PQ$ નો પ્રક્ષેપ શું થાય?

જો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$ અને $(3, 1, 2)$ હોય,અને જો $H, G, S$ અને $I$ અનુક્રમે તેના લંબકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર દર્શાવતા હોય,તો $H+G+S+I$ ની કિંમત શોધો.

એક લંબઘન (rectangular parallelepiped) ના ત્રણ અલગ-અલગ ફલકના વિકર્ણોની લંબાઈ $39, 40, 41$ છે. લંબઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ,જે સામસામેના ખૂણાઓને જોડે છે,તે શોધો.

$AB$ અને $BC$ એ લંબચોરસ પેટીના પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણો છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેની ધાર યામ અક્ષોને સમાંતર છે. જો ખૂણાઓ $\angle BOC, \angle COA$ અને $\angle AOB$ અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ હોય,તો $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ ની કિંમત શું થાય?

બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા,સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બીજી એક સીધી રેખા જે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $L_1$ ને લંબ છે,તે સમતલ $L_2: 2x-y+z=-4$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{6}$ છે
$(B)$ $R$ ના યામ $(1,6,0)$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQR$ ની પરિમિતિ $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ છે

શિરોબિંદુઓ $A(3,2,4)$,$B(x_1, y_1, 0)$,$C(x_2, y_2, 0)$,અને $D(x_3, y_3, 0)$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનો વિચાર કરો. જો ત્રિકોણ $BCD$ એ રેખાઓ $y=x$,$x+y=6$,અને $y=1$ દ્વારા રચાયેલ હોય,તો ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર શોધો.