यदि एक रेखा,घन के चार विकर्णों के साथ alpha, | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), L(a,a,a), M(a,0,a), N(0,a,a), P(a,a,0)$ हैं।च

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$4/3$

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(C) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), L(a,a,a), M(a,0,a), N(0,a,a), P(a,a,0)$ हैं।चार विकर्ण $OP, AN, BM, CL$ हैं। इन विकर्णों के दिशा सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{d_1} = (a, a, a) \implies \hat{u_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$$\vec{d_2} = (-a, a, a) \implies \hat{u_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$$\vec{d_3} = (a, -a, a) \implies \hat{u_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$$\vec{d_4} = (a, a, -a) \implies \hat{u_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।रेखा और विकर्ण के बीच के कोण $	heta$ के लिए,$|\cos 	heta| = |l u_x + m u_y + n u_z|$ होता है।अतः,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,$\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$.इनका योग करने पर:$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$$= \frac{1}{3} [4(l^2+m^2+n^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.

यदि एक रेखा,घन के चार विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ कोण बनाती है,तो $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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