वृत्तों x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7 = 0 और x^ | vedclass

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Question

(B) वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण:$(

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$x^{2} + y^{2} + 22y + 9 = 0$

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(B) वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण:$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) + \lambda (x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0 \dots (i)$पदों को व्यवस्थित करने पर:$x^{2}(1 + \lambda) + y^{2}(1 + \lambda) - x(8 + 4\lambda) - y(2 - 10\lambda) + (7 + 8\lambda) = 0$$(1 + \lambda)$ से भाग देने पर:$x^{2} + y^{2} - x\left(\frac{8 + 4\lambda}{1 + \lambda}\right) - y\left(\frac{2 - 10\lambda}{1 + \lambda}\right) + \frac{7 + 8\lambda}{1 + \lambda} = 0$इस वृत्त का केंद्र $\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}, \frac{1 - 5\lambda}{1 + \lambda}\right)$ है।चूंकि केंद्र $y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ होगा:$\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda} = 0 \implies 4 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -2$.समीकरण $(i)$ में $\lambda = -2$ रखने पर:$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) - 2(x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0$$x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7 - 2x^{2} - 2y^{2} + 8x - 20y - 16 = 0$$-x^{2} - y^{2} - 22y - 9 = 0$$x^{2} + y^{2} + 22y + 9 = 0$.

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यदि $A$ और $B$ वृत्तों $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $x^2+y^2+30x-2y+1=0$ के सापेक्ष समानता के केंद्र (centres of similitude) हैं,तो $AB$ का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्तों $x^{2} + y^{2} = 1$ और $(x - h)^{2} + y^{2} = 1$ की अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $2\sqrt{3}$ है,तो $h$ का मान ज्ञात कीजिए।

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