एक स्थिर बिंदु P(alpha, beta) से खींची गई रेख | vedclass

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Question

(B) माना बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा का प्राचलिक रूप:$\frac{x - \alpha}{\cos 	heta} = \frac{y - \beta}{\sin 	heta} = k$जहाँ $k$ रेख

Vedclass · Accepted Answer

$\alpha^2 + \beta^2 - r^2$

Vedclass · Answer

(B) माना बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा का प्राचलिक रूप:$\frac{x - \alpha}{\cos 	heta} = \frac{y - \beta}{\sin 	heta} = k$जहाँ $k$ रेखा पर किसी बिंदु $(x, y)$ की बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से दूरी है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha + k \cos 	heta, \beta + k \sin 	heta)$ है।चूंकि यह बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ पर स्थित है,इसलिए:$(\alpha + k \cos 	heta)^2 + (\beta + k \sin 	heta)^2 = r^2$$\alpha^2 + 2k \alpha \cos 	heta + k^2 \cos^2 	heta + \beta^2 + 2k \beta \sin 	heta + k^2 \sin^2 	heta = r^2$$k^2 + 2k(\alpha \cos 	heta + \beta \sin 	heta) + (\alpha^2 + \beta^2 - r^2) = 0$यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। माना इसके मूल $k_1$ और $k_2$ हैं। ये मूल दूरियों $PA$ और $PB$ को दर्शाते हैं।अतः,$PA \cdot PB = k_1 \cdot k_2 = 	ext{मूलों का गुणनफल} = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.वैकल्पिक रूप से,पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,$PA \cdot PB = PT^2$,जहाँ $PT$ बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है,जो $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - r^2}$ है। इसलिए,$PA \cdot PB = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.

एक स्थिर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से खींची गई रेखा,वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ को $A$ और $B$ पर काटती है,तो $PA \cdot PB = \dots$

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