एक बिंदु $P$ इस प्रकार चलता है कि बिंदुओं $(ae, 0)$ और $(-ae, 0)$ से इसकी दूरियों का योग हमेशा $2a$ रहता है। $P$ का बिंदु पथ ज्ञात कीजिए (जहाँ $0 < e < 1$)।

रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$,शांकव $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होगी,यदि

यदि रेखा $y = 2x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो $c = $

दीर्घवृत्तों के संग्रह $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ और आयतों के संग्रह $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ में अंतर्निहित सबसे बड़े क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $E_{18}$ और $E_{19}$ की उत्केंद्रता समान नहीं है
$(2)$ $E_9$ में केंद्र से नाभि की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए

मान लीजिए $E$ एक दीर्घवृत्त है जिसका मुख्य अक्ष $X$-अक्ष है और लघु अक्ष $Y$-अक्ष है। यदि $E$ पर स्थित एक बिंदु $P \left(\frac{5}{2}, 2 \sqrt{3}\right)$ की इसकी नाभियों से दूरियाँ $\frac{7}{2}$ और $\frac{13}{2}$ हैं,तो दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $x^2+9y^2=9$ के दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदु $A$ और लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $B$ से गुजरने वाली रेखा इसके सहायक वृत्त को बिंदु $M$ पर मिलती है। तो $A$,$M$ और मूल बिंदु $O$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है